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自考《线性代数》重难点解析与全真练习(二)

2006-12-19 08:57   【 】【我要纠错

  一、重点

  1、理解:矩阵的定义、性质,几种特殊的矩阵(零矩阵,上(下)三角矩阵,对称矩阵,对角矩阵,逆矩阵,正交矩阵,伴随矩阵,分块矩阵)

  2、掌握:

  1)矩阵的各种运算及运算规律

  2)矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法

  3)矩阵的初等变换方法

  二、难点

  1、矩阵的求逆矩阵的初等变换

  2、初等变换与初等矩阵的关系

  三、重要公式及难点解析

  1、线性运算

  1)交换律一般不成立,即AB≠BA

  2)一些代数恒等式不能直接套用,如设A,B,C均为n阶矩阵

  (A+B)2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2

  (AB)2=(AB)(AB)≠A2B2

  (AB)k≠AkBk

  (A+B)(A-B)≠A2-B2

  以上各式当且仅当A与B可交换,即AB=BA时才成立。

  3)由AB=0不能得出A=0或B=0

  4)由AB=AC不能得出B=C

  5)由A2=A不能得出A=I或A=0

  6)由A2=0不能得出A=0

  7)数乘矩阵与数乘行列式的区别

  2、逆矩阵

  1)(A–1)–1=A

  2)(kA) –1=(1/k)A–1,(k≠0)

  3)(AB)–1=B–1A–1

  4)(A–1)T=(AT)–1

  5)│A–1│=│A│–1

  3、矩阵转置

  1)(AT)T=A

  2)(kA) T=kAT,(k为任意实数)

  3)(AB)T=BTAT

  4)(A+B)T=AT+BT

  4、伴随矩阵

  1)A*A=A A*=│A│I (AB)*=B*A*

  2)(A*)*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ,(n≥2)

  3)(kA)*=kn-1A* (A*)T=(AT)*

  4)若r(A)=n,则r (A*)=n

  若r(A)=n-1,则r (A*)=1

  若r(A)<n-1,则r (A*)=0

  5)若A可逆,则(A*)-1=(1/│A│)A,(A*)-1=(A-1)*,A*=│A│A-1

  5、初等变换(三种)

  1)对调二行(列)

  2)用k(k≠0)乘以某行(列)中所有元素

  3)把某行(列)的元素的k倍加至另一行(列)的对应元素

  注意:用初等变换①求秩,行、列变换可混用

  ②求逆阵,只能用行或列变换

  ③求线性方程组的解,只能用行变换

  6、初等矩阵

  1)由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

  2)初等阵P左(右)乘A,所得PA(AP)就是A作了一次与P同样的行(列)变换

  3)初等阵均可逆,且其逆为同类型的初等阵

  E-1ij=Eij,E(-1)i(k)=Ei(1/k),E(-1)ij(k)=Eij(-k)

  7、矩阵方程

  1)含有未知矩阵的等式

  2)矩阵方程有解的充要条件

  AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示

  <==>r(A)=r(A┆B)

  四、题型及解题思路

  1、有关矩阵的概念及性质的命题

  2、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置)

  3、矩阵可逆的判定

  n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B,有AB=BA=I

  <==>│A│≠0

  <==>r(A)=n

  <==>A的列(行)向量组线性无关

  <==>Ax=0只有零解

  <==>任意b,使得Ax=b总有唯一解

  <==>A的特征值全不为零

  4、矩阵求逆

  1)定义法:找出B使AB=I或BA=I

  2)伴随阵法:A-1=(1/│A│)A*

  注意:用该方法求逆时,行的代数余子式应竖着写在A*中,计算Aij时不要遗漏(-1)i+j,当n>3时,通常用初等变换法。

  3)初等变换法:对(A┆I)只用行变换化为(I┆A-1)

  4)分块矩阵法

  5、解矩阵方程AX=B

  1)若A可逆,则X=A-1B,可先求出A-1,再作乘法A-1B求出X

  2)若A可逆,可用初等变换法直接求出X

  (A┆B)初等行变换(I┆X)

  3)若A不可逆,则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组,然后对每列常数项分别求解。

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