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自考《线性代数》重难点解析与全真练习(一)

2006-12-19 08:52   【 】【我要纠错

  第一章 行列式

  一、重点

  1、理解:行列式的定义,余子式,代数余子式。

  2、掌握:行列式的基本性质及推论。

  3、运用:运用行列式的性质及计算方法计算行列式,用克莱姆法则求解方程组。

  二、难点

  行列式在解线性方程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等方面的应用。

  三、重要公式

  1、若A为n阶方阵,则│kA│= kn│A│

  2、若A、B均为n阶方阵,则│AB│=│A│。│B│

  3、若A为n阶方阵,则│A*│=│A│n-1

  若A为n阶可逆阵,则│A-1│=│A│-1

  4、若A为n阶方阵,λi(i=1,2,…,n)是A的特征值,│A│=∏λi

  四、题型及解题思路

  1、有关行列式概念与性质的命题

  2、行列式的计算(方法)

  1)利用定义

  2)按某行(列)展开使行列式降阶

  3)利用行列式的性质

  ①各行(列)加到同一行(列)上去,适用于各列(行)诸元素之和相等的情况。

  ②各行(列)加或减同一行(列)的倍数,化简行列式或化为上(下)三角行列式。

  ③逐次行(列)相加减,化简行列式。

  ④把行列式拆成几个行列式的和差。

  4)递推法,适用于规律性强且零元素较多的行列式

  5)数学归纳法,多用于证明

  3、运用克莱姆法则求解线性方程组

  若D =│A│≠0,则Ax=b有唯一解,即

  x1=D1/D,x2= D2/D,…,xn= Dn/D

  其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

  注意:克莱姆法则仅适用于方程个数与未知数个数相等的方程组。

  4、运用系数行列式│A│判别方程组解的问题

  1)当│A│=0时,齐次方程组Ax=0有非零解;非齐次方程组Ax=b不是唯一解(可能无解,也可能有无穷多解)

  2)当│A│≠0时,齐次方程组Ax=0仅有零解;非齐次方程组Ax=b有唯一解,此解可由克莱姆法则求出。

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