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自考《线性代数》重难点解析与全真练习(三)

2006-12-19 09:00   【 】【我要纠错

  一、重点

  1、理解:向量、向量运算以及向量的线性组合与线性表出,极大线性无关组的概念,线性相关与线性无关的概念,向量组的秩的概念,矩阵的秩的概念及性质,基础解系的概念。

  2、掌握:向量的运算及运算规律,矩阵秩的计算,齐次、非齐次线性方程组解的结构。

  3、运用:线性相关、线性无关的判定,线性方程组解的判断,齐次、非齐次线性方程组的解法。

  二、难点

  线性相关、线性无关的判定。向量组的秩与矩阵的秩的关系。方程组与向量组线性表示及秩之间的联系。

  三、重点难点解析

  1、 n维向量的概念与运算

  1) 概念

  2) 运算

  若α=(a1,a2,…,an)T,β=(b1,b2,…,bn)T

  ①加法:α+β=(a1+b1 ,a2+b2 ,…,an+bn)T

  ②数乘:kα=(ka1,ka2,…,kan)T

  ③内积:(α。β)=a1b1+a2b2+,…,+anbn=αTβ=βTα

  2、线性组合与线性表出

  3、线性相关与线性无关

  1)概念

  2)线性相关与线性无关的充要条件

  ①线性相关

  α1,α2,…,αs线性相关

  <==>齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0有非零解

  <==>向量组的秩r(α1,α2,…,αs)<s (向量的个数)

  <==>存在某αi(i=1,2,…,s)可由其余s-1个向量线性表出

  特别的:n个n维向量线性相关<==>│α1α2…αn│=0

  n+1个n维向量一定线性相关

  ②线性无关

  α1,α2,…,αs线性无关

  <==>齐次方程组(α1,α2,…,αs)(x1,x2,…,xs)T=0只有零解

  <==>向量组的秩r(α1,α2,…,αs)=s (向量的个数)

  <==>每一个向量αi(i=1,2,…,s)都不能用其余s-1个向量线性表出

  ③重要结论

  A、阶梯形向量组一定线性无关

  B、若α1,α2,…,αs线性无关,则它的任一个部分组αi1,αi2,…,αi t必线性无关,它的任一延伸组必线性无关。

  C、两两正交,非零的向量组必线性无关。

  4、向量组的秩与矩阵的秩

  1)极大线性无关组的概念

  2)向量组的秩

  3)矩阵的秩

  ①r(A)=r(AT)

  ②r(A+B)≤r(A)+r(B)

  ③r(kA)=r(A),k≠0

  ④r(AB)≤min(r(A),r(B))

  ⑤如A可逆,则r(AB)=r(B);如B可逆,则r(AB)=r(A)

  ⑥A是m×n阵,B是n×p阵,如AB=0,则r(A)+r(B)≤n

  4)向量组的秩与矩阵的秩的关系

  ①r(A)=A的行秩(矩阵A的行向量组的秩)=A的列秩(矩阵A的列向量组的秩)

  ②经初等变换矩阵、向量组的秩均不变

  ③若向量组(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表出,则r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)。特别的,等价的向量组有相同的秩,但秩相同的向量组不一定等价。

  5、基础解系的概念及求法

  1)概念

  2)求法

  对A作初等行变换化为阶梯形矩阵,称每个非零行中第一个非零系数所代表的未知数是主元(共有r(A)个主元),那么剩于的其他未知数就是自由变量(共有n- r(A)个),对自由变量按阶梯形赋值后,再带入求解就可得基础解系。

  6、齐次方程组有非零解的判定

  1)设A是m×n矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是r(A)<n,亦即A的列向量线性相关。

  2)若A为n阶矩阵,Ax=0有非零解的充要条件是│A│=0

  3)Ax=0有非零解的充分条件是m<n,即方程个数<未知数个数

  7、非齐次线性方程组有解的判定

  1)设A是m×n矩阵,Ax=b有解的充要条件是系数矩阵A的秩等于增广矩阵(A增)的秩,即r(A)=r(A增)

  2)设A是m×n矩阵,方程组Ax=b

  ①有唯一解<==> r(A)=r(A增)=n

  ②有无穷多解<==> r(A)=r(A增)<n

  ③无解<==> r(A)+1=r(A增)

  8、非齐次线性方程组解的结构

  如n元线性方程组Ax=b有解,设,η2,…,ηt是相应齐次方程组Ax=0的基础解系,ξ是Ax=b的一个解,则k1η1+k2η2+…+ktηt+ξ是Ax=b的通解。

  1)若ξ1,ξ2是Ax=b的解,则ξ1-ξ2是Ax=0的解

  2)若ξ是Ax=b的解,η是Ax=0的解,则ξ+kη仍是Ax=b的解

  3)若Ax=b有唯一解,则Ax=0只有零解;反之,当Ax=0只有零解时,Ax=b没有无穷多解(可能无解,也可能只有唯一解)

  四、题型及解题思路

  1、有关n维向量概念与性质的命题

  2、向量的加法与数乘运算

  3、线性相关与线性无关的证明

  1)定义法

  设k1α1+k2α2+…+ksαs=0,然后对上式做恒等变形(要向已知条件靠拢!)

  ①由B=C可得AB=AC,因此,可按已知条件的信息对上式乘上某个A

  ②展开整理上式,直接用已知条件转化为齐次线性方程组,最后通过分析论证k1,k2,…,ks的取值,得出所需结论。

  2)用秩(等于向量个数)

  3)齐次方程组只有零解

  4)反证法

  4、求给定向量组的秩和极大线性无关组

  多用初等变换法,将向量组化为矩阵,通过初等变换来求解。

  5、求矩阵的秩

  常用初等变换法。

  6、求解齐次线性方程组与非齐次线性方程组

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