28118 初等数论

江苏教育学院编

　　第一章　基础知识

　　一、要求

　　（一）掌握整除的性质及带余除法，熟练地计算最大公约数，最小公倍数。掌握素数的性质及唯一分解定理。

　　（二）熟练掌握一次不定方程的性质及其解法。掌握方程x2+y2=z2的解法。初步掌握一些不定方程的特殊解法。

　　（三）掌握连分数与有理数、无理数之间的关系，会求连分数的渐近分数，熟悉连分数的简单应用。

　　（四）理解抽屉原理与容斥原理，能用来解决某些简单问题。

　　二、考试内容

　　（一）整除性，带余除法，最大公约数，辗转相除法，最小公倍数，素数及其性质，筛法，唯一分解定理。

　　（二）一次不定方程有解的充要条件及其解法，一次不定方程的Frobenius问题。方程x2+y2=z2的解法。一些简单不定方程的特殊解法与综合解法。

　　（三）有限连分数与有理数，连分数的渐近分数，无限连分数与无理数，连分数的应用。

　　（四）抽屉原理，容斥原理。

　　第二章　同余

　　一、要求

　　（一）熟练掌握同余的概念及其基本性质，熟悉同余的简单应用，掌握完全剩余系与缩系的性质。

　　（二）掌握欧拉定理、费马定理与威尔逊定理，并能熟练地运用。

　　（三）熟练掌握一元一次同余式、二元一次同余式和一元一次同余式组有解的充要条件及其解法、熟练掌握孙子定理。

　　（四）理解高次同余式解数的有关性质，掌握素数模与合数模的高次同余式的解法。

　　二、考试内容

　　（一）同余的概念与其本性质，同余的应用，完全剩余系，缩系。

　　（二）欧拉定理，费马定理，威尔逊定理。

　　（三）一元一次同余式有解的充要条件及其解法，二元一次同余式有解的充要条件及其解法，孙子定理，一元一次同余式组有解的充要条件及其解法。

　　（四）素数模的高次同余式解的个数与解法，合数模的高次同余式解的个数与解法。

　　第三章　数论函数

　　一、要求

　　（一）熟悉数论函数σ（n），d（n）以及某此特殊的数，掌握高斯函数［X］、欧拉函数φ（n）及麦比乌斯函数μ（n）的基本性质。

　　（二）掌握积性函数的定义及其基本性质，了解麦比乌斯反演公式及其简单应用。

　　二、考试内容

　　（一）数论函数的定义，d（n）与σ（n），完全数，梅审数，费马数。高斯函数［X］的性质，n！的分解。欧拉函数的性质及计算公式。麦比乌斯函数的性质。

　　（二）积性函数的定义及其性质，麦比乌斯反演公式，应用举例。

　　第四章　二次剩余

　　一、要求

　　（一）掌握二次剩余与二次非剩余的概念及欧拉判别法，掌握二次互反律，能熟练地计算勒让德符号与雅可比符号。

　　（二）掌握素数模的二次同余式的解法，掌握合数模的二次同余式有解的充要条件及一般解法。

　　（三）掌握整数能表为两个平方数之和的充要条件，了解整点问题与华林问题的有关结构。

　　二、考试内容

　　（一）二次剩余，二次非剩余，欧拉判别法，勒让德符号，二次互反律，雅可比符号。

　　（二）素数模二次同余式的解法，合数模二次同余式有解的充要条件与解数，一般解法。

　　（三）整数可表为两个平方数之和的充要条件，圆内整点问题，华林问题。

　　第五章　原根与指数

　　一、要求

　　（一）掌握阶数的定义及其基本性质，熟悉原根存在的条件。

　　（二）掌握指数的定义及其基本性质，能利用指数表解同余式。

　　二、考试内容

　　（一）阶数与原根的定义，阶数的性质，原根存在的条件，原根的个数。

　　（二）指数的定义，指数的性质，模m的指数表，利用指数表解同余式、二项同余式或指数同余式。

　　选用教材意见

　　1.使用教材

　　《初等数论》　洪修仁编著　成都科技大学出版社出版　1997年4月

　　2.参考教材

　　《初等数论》（第二版）　闵嗣鹤，严士健编　人民教育出版社出版　1982年9月

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