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江苏自学考试初等数论教材大纲

2006-11-08 10:56   【 】【我要纠错

28118 初等数论

江苏教育学院编

  第一章 基础知识

  一、要求

  (一)掌握整除的性质及带余除法,熟练地计算最大公约数,最小公倍数。掌握素数的性质及唯一分解定理。

  (二)熟练掌握一次不定方程的性质及其解法。掌握方程x2+y2=z2的解法。初步掌握一些不定方程的特殊解法。

  (三)掌握连分数与有理数、无理数之间的关系,会求连分数的渐近分数,熟悉连分数的简单应用。

  (四)理解抽屉原理与容斥原理,能用来解决某些简单问题。

  二、考试内容

  (一)整除性,带余除法,最大公约数,辗转相除法,最小公倍数,素数及其性质,筛法,唯一分解定理。

  (二)一次不定方程有解的充要条件及其解法,一次不定方程的Frobenius问题。方程x2+y2=z2的解法。一些简单不定方程的特殊解法与综合解法。

  (三)有限连分数与有理数,连分数的渐近分数,无限连分数与无理数,连分数的应用。

  (四)抽屉原理,容斥原理。

  第二章 同余

  一、要求

  (一)熟练掌握同余的概念及其基本性质,熟悉同余的简单应用,掌握完全剩余系与缩系的性质。

  (二)掌握欧拉定理、费马定理与威尔逊定理,并能熟练地运用。

  (三)熟练掌握一元一次同余式、二元一次同余式和一元一次同余式组有解的充要条件及其解法、熟练掌握孙子定理。

  (四)理解高次同余式解数的有关性质,掌握素数模与合数模的高次同余式的解法。

  二、考试内容

  (一)同余的概念与其本性质,同余的应用,完全剩余系,缩系。

  (二)欧拉定理,费马定理,威尔逊定理。

  (三)一元一次同余式有解的充要条件及其解法,二元一次同余式有解的充要条件及其解法,孙子定理,一元一次同余式组有解的充要条件及其解法。

  (四)素数模的高次同余式解的个数与解法,合数模的高次同余式解的个数与解法。

  第三章 数论函数

  一、要求

  (一)熟悉数论函数σ(n),d(n)以及某此特殊的数,掌握高斯函数[X]、欧拉函数φ(n)及麦比乌斯函数μ(n)的基本性质。

  (二)掌握积性函数的定义及其基本性质,了解麦比乌斯反演公式及其简单应用。

  二、考试内容

  (一)数论函数的定义,d(n)与σ(n),完全数,梅审数,费马数。高斯函数[X]的性质,n!的分解。欧拉函数的性质及计算公式。麦比乌斯函数的性质。

  (二)积性函数的定义及其性质,麦比乌斯反演公式,应用举例。

  第四章 二次剩余

  一、要求

  (一)掌握二次剩余与二次非剩余的概念及欧拉判别法,掌握二次互反律,能熟练地计算勒让德符号与雅可比符号。

  (二)掌握素数模的二次同余式的解法,掌握合数模的二次同余式有解的充要条件及一般解法。

  (三)掌握整数能表为两个平方数之和的充要条件,了解整点问题与华林问题的有关结构。

  二、考试内容

  (一)二次剩余,二次非剩余,欧拉判别法,勒让德符号,二次互反律,雅可比符号。

  (二)素数模二次同余式的解法,合数模二次同余式有解的充要条件与解数,一般解法。

  (三)整数可表为两个平方数之和的充要条件,圆内整点问题,华林问题。

  第五章 原根与指数

  一、要求

  (一)掌握阶数的定义及其基本性质,熟悉原根存在的条件。

  (二)掌握指数的定义及其基本性质,能利用指数表解同余式。

  二、考试内容

  (一)阶数与原根的定义,阶数的性质,原根存在的条件,原根的个数。

  (二)指数的定义,指数的性质,模m的指数表,利用指数表解同余式、二项同余式或指数同余式。

  选用教材意见

  1.使用教材

  《初等数论》 洪修仁编著 成都科技大学出版社出版 1997年4月

  2.参考教材

  《初等数论》(第二版) 闵嗣鹤,严士健编 人民教育出版社出版 1982年9月

江苏省教育考试院

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