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江苏08年自考抽象代数考试大纲

2008-06-26 16:32   【 】【我要纠错

  02009 抽象代数

  一、课程性质、目的和要求

  抽象代数即近世代数是现代数学的一个重要分支,是研究多种代数结构的一门学科。它是现代科学各个分支的基础,而且随着科学技术的不断进步,特别是计算机的发展与推广,近世代数的思想、理论与方法的应用越来越广泛。它的思想方法已经渗透到数学的多个分支,它的结果已应用到众多学科领域,它的内容对中学代数教学有指导意义。本课程是师范院校数学专业学生的必修课,也是教师本科自考的必考课程。近世代数的内容丰富,在本科阶段不可能全部掌握,根据所选教材,要求考生在学习本课程中,掌握近世代数的基本概念、基本理论和方法,使学生拓宽眼界,扩大知识领域,提高抽象思维能力和逻辑推理能力,提高数学修养与技巧,以便能深入理解中学代数的内容和方法,为进一步学习其它学科创造条件。

  课程内容包括:基本概念;群;环;整环里的因子分解。

  二、课程内容与考核要求

  第一章 基本概念

  本章中介绍的一些基本概念是数学各个分支的基础,也是学习本课程各个代数体系的必备知识。其主要内容有

  1.集合的概念与运算

  2.映射的定义与几种特殊映射的性质

  3.卡氏积与代数运算

  4.等价关系与集合的分类

  考试要求:

  掌握集合的概念与运算,掌握集合的交、并、集合 的幂集 的定义及表示,熟练掌握习题7、8的结论;了解映射的定义与几种特殊映射的性质,掌握映射的合成,熟练掌握定理1.6及习题2、6的结论;掌握代数运算的定义与判定方法, 熟练掌握习题2;掌握等价关系与集合的分类的定义及相关性质,能够由等价关系得出集合分类,并能正确给出商集,熟练掌握习题5、6。

  第二章 群

  群是具有一种代数运算的代数体系,即具有一个代数运算的集合,它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支。其主要内容有

  1.半群的定义及性质

  2.群的定义及等价条件

  3.元素阶的定义及性质

  4.循环群的定义及结构

  5.子群及判定条件

  6.变换群

  7.群的同态与同构、Cayley定理

  8.子群的陪集、Lagrange定理

  9.正规子群与商群、正规子群的等价条件

  10.同态基本定理与同构定理

  考试要求:

  掌握半群的定义及定理2.1、定理2.2、定理2.3、定理2.4的结论;掌握群的定义及性质,如定理2.5、定理2.6及推论; 熟练掌握群的一些重要例子,如例1、例3、例4、例7,熟练掌握习题2、3、6、9;掌握元素阶的定义及相关重要性质,如定理2.8、定理2.9、定理2.10,熟练掌握例1、例2;熟练掌握循环群的定义、构造及性质,如定理2.11、定理2.12、定理2.13及推论1、推论2, 熟练掌握例5、例6及习题2、3、5、8、9;熟练掌握子群的定义及性质,如定理2.14、定理2.16、定理2.21及例3、例5、习题2、4、5; 掌握变换群的概念及有关结论,熟练掌握 次对称群、循环置换的概念及性质,特别是3次、4次对称群元素的表示、运算及性质,如定理2.23、定理2.24、定理2.25、定理2.27、例4及习题4;掌握群的同态、同构的定义、性质以及Cayley定理及定理2.28、定理2.30,会求同态象与同态核,掌握习题1、2;掌握子群陪集的概念及性质,熟练掌握Lagrange定理及及其推论1、推论2、例5、例6,熟练掌握习题2、3、 4、5;掌握正规子群的定义及等价命题定理2.40, 能够正确判定子群与正规子群, 掌握例1、例2、例4、例6、例7的结论及习题2、3、6,正确掌握商群的概念及性质(推论);掌握并正确使用同态基本定理,熟练掌握复习题二中的第2、4题。

  第三章 环

  环是具有两中代数运算的代数体系,它也是近世代数中的一个重要分支。其主要内容有

  1. 环的定义;整环、除环、域的定义及性质

  2. 子环及判定条件

  3. 环的同态与同构

  4. 理想与商环

  5. 素理想与极大理想

  6. 商域

  7. 多项式环

  8. 扩域

  9. 有限域

  考试要求:

  熟练掌握环、整环、除环、域的概念及相关命题:定理3.1及推论、定理3.2、定理3.3、定理3.4及推论。熟练掌握几个重要环的例子,如例1、例2、例3、例5、例7、例9、例10,掌握环的单位元、零因子的定义及性质,熟练掌握习题5、9、10、11;掌握子环、子域的概念以及判定定理3.5、定理3.6,掌握例1、例4、例6, 需要注意:子环 与环 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系,但是并不一定一致;掌握环的同态与同构的定义及相关性质(定理3.10、定理3.11),会求同态象与同态核,需要注意:当 与 满同态时, 与 在是否可交换、有无零因子、有无单位元等性质上有一定的联系,但是并不完全一致;熟练掌握习题2、3;掌握理想与商环的概念及相关命题(定理3.14、定理3.17及推论、定理3.18); 熟练掌握主理想的构造(推论1),熟练掌握例2、例5、例6、例7、例8及习题1、2、4、7;正确应用同态基本定理及同构定理; 掌握素理想与极大理想的定义、判定方法及相关命题(定理3.22、定理3.23及推论),熟练掌握例1、例2、例3、例4、例5及习题1、2、3;了解商域及多项式环的构造;了解域的研究方法,掌握代数元的极小多项式的性质及求法,掌握有限扩域的概念及定理3.35.

  第四章 整环里的因子分解

  在整数环 中,每个不等于 的非零整数都能分解成有限个素数的乘积,而且除了因数次序和 的因数差别外,分解是惟一的。同样,在数域 上的一元多项式环 中,每个次数 的多项式都能分解成有限个不可约多项式的乘积,而且除了因子次序和零次因式的差别外,分解是惟一的。在这一章里,我们将对一般的整环讨论元素分解的理论,给出整环中因子分解惟一性定理成立的一些条件,并介绍几种惟一分解定理成立的整环。其主要内容有

  1. 不可约元、素元、最大公因子

  2. 惟一分解环

  3. 主理想环

  4. 欧氏环

  5. 惟一分解环上的一元多项式环

  6. 因子分解与多项式的根

  考试要求:

  掌握整环中的单位、相伴、真因子、不可约元、素元、最大公因子的概念及其性质,熟练掌握例1、例2及习题2、3、4;掌握惟一分解元、惟一分解环的定义及其性质,熟练掌握例1及习题1;熟练掌握主理想环的概念及主理想环的例子,如:整数环 、域 上的一元多项式环 ,知道整数环 上的一元多项式环 不是主理想环,掌握定理4.14、定理4.15、定理4.16及其习题4、5;熟练掌握欧氏环的定义及欧氏环的例子,如:整数环 、高斯(Gauss)整数环 、域 、域 上的一元多项式环 ,掌握定理4.17、定理4.18;掌握惟一分解环上的一元多项式环也是惟一分解环;了解因式分解与多项式的根的概念及其性质,掌握例子及习题1、2、3.

  三、有关说明

  (一)教材:

  自学教材:1、《近世代数》,朱平天主编,科学出版社,2001年版;2、《抽象代数基础》,李克正主编,清华大学出版社,2007年。

  教材1可作为应考者复习应考的主要参考教材,教材2可作为应考者补充和提高抽象代数知识的主要参考。本课程考试命题以大纲为依据。

  其他参考书目:

  《近世代数基础》,张禾瑞编,人民教育出版社, 1984年版。

  (二)自学方法的指导

  本课程作为一门专业课程,内容抽象,综合性强,自学者在自学过程中应该注意以下几点:

  1.本课程在学生具备初等代数、高等代数知识的基础上,系统地学习群、环、域的基础知识。因此,自学前,要注意知识的积累与衔接。应仔细阅读课程考试大纲,了解课程的性质、地位和要求,熟悉掌握课程的基本内容,使以后的学习紧紧围绕课程的基本要求。

  2.所配教材是自学的主要依据,自学时应结合教材及课程考试大纲和参考书目,熟练掌握基本概念和方法的同时,能结合具体例子进行练习和运用,以达到本课程的要求。

  (三)对社会助学的要求

  1.应熟知考试大纲对课程所提出的总的要求和各章节的知识点。

  2.对考生进行辅导时,主要以指定的教材为主,同时以考试大纲为依据,关注补充参考书目,注重提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力,增强数学修养与技巧,提高解决问题的能力。

  (四)关于命题和考试的若干规定

  1.本大纲各章节所提到的考核要求中,各条细目都是考试的内容,试题覆盖到各章节,适当突出重点章节,加大重点内容的覆盖密度。

  2.试题难度结构合理,记忆、理解、综合性试题比例大致为4:4:2.

  3.本课程考试试卷可能采用的题型有:填空题、判断改错题、计算简答题、证明题(见附件题型示例)。

  4.考试方式为闭卷笔试,考试时间为150分钟,评分采用百分制,60分为及格。

  附件:题型示例请点击下载浏览

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