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江苏自学考试高等代数教材大纲

2006-11-27 17:12   【 】【我要纠错

  江苏教育学院编

  第一章  线性空间

  一、要求

  1.理解线性空间的概念及其基本性质。

  2.掌握线性空间中向量的线性相关性的概念及有关结论。

  3.掌握线性空间的维数、基与坐标的概念及求法,了解维数、基与所考虑的数域有关。

  4.掌握两个基之间的过渡矩阵及其形式写法和运算规律,能熟练地应用基变换与坐标变换公式。

  5.理解线性子空间及生成子空间的概念与有关性质,掌握基扩充定理。

  6.掌握子空间的交、和与直和的概念及直和的充分必要条件,理解维数公式的意义。

  7.理解和掌握线性空间同构的概念及同构的充分必要条件。

  二、考试内容

  1.线性空间的概念

  线性空间的定义和基本性质,常见线性空间的例子。

  2.线性相关性

  线性组合、线性相关和线性无关等基本概念及其有关的结论。

  3.维数、基和坐标

  维数、基与坐标的概念及求法、维数、基与所考虑的数域的关系,常见线性空间的自然基。

  4.基变换与坐标变换

  过渡矩阵及其性质、基变换公式与坐标变换公式。

  5.子空间

  子空间的概念及其等价条件,生成子空间的概念及其性质,基扩充定理。

  6.子空间的交、和与直和

  子空间的交与和的概念及有关定理,维数公式;直和的概念及直和的充分必要条件。

  7.同构

  线性空间同构的概念和性质、线性空间同构的充分必要条件。

  第二章  线性变换

  一、要求

  1.掌握线性变换的定义、基本性质及其运算。

  2.理解线性变换的矩阵的概念,线性变换的运算与矩阵运算之间的对应关系,象与原象的坐标公式。

  3.掌握矩阵相似的概念及其性质;理解同一线性变换在不同基下的矩阵之间的关系。

  4.熟悉线性变换和矩阵的特征值,特征向量的概念及其关系;熟练掌握特征值、特征向量的求法;掌握特征子空间的概念。熟悉哈密尔顿一凯莱定理。

  5.熟练掌握线性变换在适当基下的矩阵为对角矩阵的条件及求法。熟悉不同特征值的特征向量的性质。

  6.理解线性变换的值域与核的概念及其性质。

  7.掌握不变子空间和线性变换在其上引起的变换的概念及性质。不变子空间与线性变换矩阵化简的关系;熟悉将线性空间V按特征值分解成不变子空间的直和的结论。

  8.熟悉矩阵最小多项式的概念和性质,理解矩阵的最小多项式与特征项式的关系,掌握根据最小多项式来判断矩阵相似于对角形的充分必要条件。

  二、考试内容

  1.线性变换的概念及其运算。

  线性变换的定义及其基本性质;线性变换的运算。

  2.线性变换的矩阵

  线性变换的矩阵的概念,以及线性变换与矩阵之间的对应关系;象与原象的坐标之间的关系。

  3.线性变换的特征值、特征向量

  矩阵相似的概念:同一个线性变换在不同基下的矩阵之间的相似关系;线性变换和矩阵的特征值、特征向量的概念及求法;特征多项式及其性质;特征子空间。

  4.线性变换的对角化问题

  属于不同特征值的特征向量线性无关的性质;线性变换在适当基下的矩阵为对角矩阵的条件及求法。

  5.值域与核

  线性变换的值域与核以及秩和零度的概念;线性变换的值域与线性变换的矩阵的列向理之间关系;线性变换的核与齐次线性方程组解空间的关系。

  6.不变子空间

  不变子空间的概念和性质;线性变换在不变子空间上引起的变换;不变子空间与矩化简的性质;线性空间按特征值分解成不变子空间的直和。

  7.最小多项式

  矩阵的最小多项式及其性质,最小多项式的求法,根据地最小多项式来判断相似于对角形的充分必要条件。

  第三章  λ—矩阵

  一、要求

  1.理解λ-矩阵的基本概念,了解λ-矩阵与数字矩阵有关概念的异同,掌握λ-矩阵可逆的充分必要条件,掌握λ-矩阵在初等变换下的标准及其求法。

  2.掌握矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子的概念和求解方法,以及它们相互之间的关系;了解λ-矩阵等价的有关充分必要条件。

  3.掌握矩阵相似的充分必要条件,了解矩阵的相似不变量。

  4.掌握复数域上矩阵的若当标准形及其求法,了解任意数域上矩阵的有理标准及其求法。

  二、考试内容

  1.λ-矩阵

  λ-矩阵的定义及其运算,λ-矩阵阵的秩,λ-矩阵可逆的充分必要条件,λ-矩阵的初等变换,λ-矩阵的等价,λ-矩阵在初等变换下的标准形。

  2.不变因子

  行列式因子、不变因子及相互关系;λ-矩阵等价的充分必要条件,λ-矩阵标准形的唯一性。

  3.矩阵相似的条件

  矩阵相似与特征矩阵等价的相互关系,初等因子,矩阵的相似不变量。

  4.有理标准形和若当标准形

  数域F上的多项式的友阵,在理标准形及其求法,若当块,若当标准形及其求法。

  第四章  欧氏空间

  一、要求

  1.掌握有关内积、欧氏空间、向量的长,夹角、正交等基本概念和性质。

  2.理解度量矩阵的概念和性质;理解标准正交基的概念和作用;熟练掌握化线性无关向量组为单位正交向量组的正交化、单位化方法。

  3.理解正交变换的概念、掌握正交换的有关等价条件。

  4.理解正交子空间及正交补子空间的概念,了解欧氏空间的正交分解的意义。

  5.理解实对称变换的概念及与实对称矩阵的对应关系;掌握有关实对称矩阵的特征值、特征向量的性质及其正交化简的结论,能熟练地对实对称矩阵,及实二次型的进行正交化简。

  6.了解欧氏空间同构的概念及充分必要条件。

  7.理解向量间的距离和向量到子空间的距离;了解最小二乘解及其求解方法。

  二、考试内容

  1.欧氏空间的概念

  内积、欧氏空间的定义及其性质;向量的长,有关不等式,两个非零向量的夹角,向量的正交。

  2.标准正交基

  度量矩阵的概念和性质,不同基的度量矩阵的关系;标准正交基的概念及作用;化线性无关向量组成单位正交向量组的正交化,单位化方法。

  3.正交变换

  正交变换及其等价条件;正交换的几何意义。

  4.正交子空间

  子空间与子空间正交的概念及性质;正交补空间的概念和有关结论及其几何意义。

  5.对称变换

  对称变换的定义,对称变换与实对称矩阵的对应关系;实对称矩阵的特征值、特征向量的性质;实对称矩阵及实二次型的正交化简。

  6.欧氏空间的同构

  欧氏空间的同构;欧氏空间同构的充分必要条件。

  7.最小二乘法

  向量间的距离,向量到子空间的距离和有关结论及其几何意义;最小二乘解和它的求解方法。

  第五章  双线性函数

  一、要求

  1.了解线性函数的概念和性质,理解对偶空间和对偶基的概念,掌握两个基的过渡矩阵与它们的对偶基的过渡矩阵的关系。

  2.理解双线性函数和度量矩阵的概念及其相互关系,了解非退化的双线性函数的概念及其充分必要条件。

  3.掌握对称双线性函数的概念和它的度量矩阵的有关性质,了解它与对称矩阵及二次型的关系。了解非退化的双线性函数的正交基的概念。

  二、考试内容

  1.对偶空间

  线性函数的定义和性质;对偶空间与对偶基,两个基的过渡矩阵与它们的对偶基的过渡矩阵的关系。

  2.双线性函数

  双线性函数和它的度量矩阵,双线性函数在不同基下的度量矩阵的合同关系;非退化双线性函数及其充分必要条件。

  3.对称双线性函数

  对称双线性函数,对称双线性函数与对称矩阵的关系,对称双线性函数与二次型的关系;对称双线性函数的度量矩阵的对角化;非退化对称双线函数的正交基。

江苏省教育考试院

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