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江苏自学考试常微分方程教材大纲

2006-11-13 14:18   【 】【我要纠错

  江苏教育学院编

  第一章  初等积分法

  一、要求

  1、理解并掌握微分方程和解的基本概念。

  2、熟练掌握各种基本类型的方程及/其解法;特别是线性方程及全微分方程。

  二、考试内容

  1、微分方程及解的概念;通解与通积分定义;特解和初始条件。

  2、变量可分离方程解法。

  3、齐次方程的解法。

  4、一阶线性方程的解法。

  5、全微分方程的解法。

  6、积分因子定义及与X或与Y有关的积分因子的求法,相关方程的解法。

  7、几种可降阶的高阶方程。

  8、会求解一些简单的几何问题。

  第二章  基本定理

  一、要求

  理解证明解的存在唯一性定理的主要思路,会用Piccard逐次逼近法求近似解。

  二、考试内容

  1、一阶方程的几何解释。

  2、一阶方程解的存在唯一性定理。

  (1)条件、结论

  (2)如何构造Piccard逐次逼近函数序列;

  (3)定理证明主要步骤;

  (4)一阶线性方程的解的存在唯一性定理;

  (5)会甩Piccard,逐次逼近法求近似解。

  第三章  线性微分方程

  一、要求

  掌握高阶线性微分方程解的性质、通解结构及常数变易法。特别要熟练掌握高阶线性方程解的性质和高阶线性常系数方程的解法,了解幂级数解法。

  二、考试内容

  1、基本概念,可降阶的方程,悬链线。

  2、三、四阶线性微分方程。

  (1)解的性质

  (2)通解的定义及其通解结构定理要会证明

  (3)刘维尔公式及其应用

  3、高阶线性常系数方程的解法

  (1)齐次方程特征根法

  (2)非齐次方程求特解方法有待定系数法。

  4、幂级数解法大意

  第四章  线性微分方程组

  一、要求

  1、理解并掌握线性微分方程组的解的性质,通解结构,刘维尔公式,熟悉向量与矩阵的表达方法。

  2、熟练掌握常系数线性微分方程组的解法。

  二、考试内容

  1、微分方程组解的存在唯一性定理与一阶方程比较。

  2、一阶线性微分方程组及其解的概念。

  3、齐次线性方程组。

  (1)解的性质

  (2)刘维尔公式

  (3)通解结构定理要会证明

  4、非齐次线性方程组

  (1)解的性质

  (2)通解结构定理要会证明

  (3)常数变易法

  5、常系数线性微分方程组通解的求法。

  第五章  定性理论与稳定性概念

  一、要求

  理解定性与稳定性理论中基本概念,掌握李雅普诺夫稳定性概念与直接方法。

  二、考试内容

  1、基本概念

  (1)自治系统与非自治系统

  (2)奇点

  (3)轨线与相平面

  2、二维线性系统的奇点

  3、二维非线性系统的奇点

  4、极限环的概念与例题

  5、李雅普诺夫稳定性概念与直接方法

  选用教材

  《常微分方程》东北师大数学系微分方程教研室编  高等教育出版社出版(1982年)

江苏省教育考试院

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