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离散数学自学笔记前言

2006-09-15 16:02   【 】【我要纠错

  前言

  “离散数学”是研究离散数量关系和离散结构数学模型的数学分支的统称。

  “离散”与“连续”是数量关系中一对极为深刻的矛盾,它们之间的对立与统一是数学发展的重要动力之一。“离散”是“连续”的否定,即“不连续”:“连续”则是指事物、数量的一种属性,这种属性使它们容易被分割或结合,并且不会因此而丧失它们原有的本性。例如,实数是连续的,整数则是离散的;马铃薯是离散的,而马铃薯羹则是连续的。

  古代数学主要讨论整数、整数的比(有理数),它甚至(德莫克利特)把几何图形也看作是由很多孤立的“原子”组成的。因而,那时数学被看作是研究离散的或离散化了的数量关系的科学。

  随着数学理论的不断发展(不可通约线段的发现,对无限概念的深入探讨),同时由于处理离散数量关系的数学工具在刻划物体运动方面无能为力,近代出现了连续的数量概念——实数,出现了处理连续数量关系的数学工具——微积分。因此,近代数学主要研究连续数量关系及其数学结构、数学模型,并且取得了极其辉煌的成果。近代数学的这一特征,一直延续至今,仍在现代数学中占据支配地位。

  然而,近50年来,数字电子计算机的飞速发展与广泛应用,极大地冲击了现代数学。由于数字电子计算机是一个离散结构,它只能处理离散的或离散化了的数量关系,因此,无论计算机科学本身,还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域,都面临这样一些问题:如何高速、有效地处理离散的对象和离散的数量关系,如何对离散结构建立离散数学模型,又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化,从而可由计算机加以处理。于是,人们开始重新认识离散数量关系的研究意义,重新重视讨论离散数量关系的数学分支,并取得新的发展。离散数学学科的出现和发展是上述事实的逻辑结果。

  “离散数学课程”是介绍“离散数学”各分支的基本概念、基本理论和基本研究方法、研究工具的基础课程,业已成为计算机科学与技术专业的核心基础课程, IEEE&ACM的CC2001教程[0]更是以十分显著的方式强调了这一点。离散数学课程所涉及的概念、方法和理论,大量地应用在“数字电路”、“编译原理”、“数据结构”、“操作系统”、“数据库系统”、“算法的分析与设计”、“软件工程”、“人工智能”、“多媒体技术”、“计算机网络”等专业课程以及“信息管理”、“信号处理”、“模式识别”、“数据加密”等相关课程中;它所提供的训练,十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高,十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的。离散数学课程所传授的思想和方法,广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域,从科学计算到信息处理,从理论计算机科学到计算机应用技术,从计算机软件到计算机硬件,从人工智能到分布式系统,无不与离散数学密切相关。(例如:理论的和现实的可计算性研究,新的软件理论的发现和新的程序设计方法的提出,人工智能系统的研制与新一代计算机的探索等。)因此,就象20世纪30年代图灵机的提出为现代计算机奠定基础一样,未来计算机系统的创新也取决于人类对离散结构、计算(包括思维与推理)模型的研究取得新的突破。

  计算机技术作为当今信息社会信息技术的核心,已经成为知识经济最强有力的技术支持,成为人们在工作、学习和生活中,获取信息、处理信息、运用信息的重要工具。众所周知,计算机求解的基本模式是:

  实际问题 T 数学建模 T 算法设计 T 编程实现

  那么,为数学建模打下知识基础、为算法设计提供具体指导的离散数学,理所当然地与我们发生越来越密切的关系。它还不断地走入物理、化学、生物等自然科学以及经济、教育等社会科学中,取得日益广泛的应用。有人预计,未来社会将有越来越多的人学习离散数学,就象当今人们学习微积分教程一样。

  本书内容包括离散数学四大分支的基础理论,它们是数理逻辑、集合论、图论和抽象代数学。考虑到组合论、可计算性理论常被独立选作计算机科学与技术专业的专业基础课,本书没有涉及。本书对数理逻辑理论、函数概念及代数结构内容的强化和系统化,是区别于其它同类书籍的鲜明特点,从而在内容上具有新颖性。它既注重了离散数学内容本身的系统与完善,同时又注重与计算机专业的密切联系。它关注基础与能力的结合、理论与实践的结合、当前与未来的结合、专业与普及的结合。全书具有结构合理、内容系统、阐释新颖的特点。作者努力做到:取材详略得当, 叙述清楚流畅, 论证科学严谨, 释例、练习精选独特。因此,本书具有较好的科学性、应用性、工具性和可读性。本书的学习不仅为计算机专业的学生学习专业后继课程打下扎实的理论基础,也为他们未来的专业发展提供必要的理论储备;同时,本书的学习也必将提升读者的数学基本素养和深刻的数学思维底蕴。

  本书内容是按照国家教委离散数学教学大纲要求、参考IEEE&ACM的CC2001教程编排的,作者在科学出版社1994年出版的拙著《离散数学》教材及多年教学实践的基础上修改而成的。因此本书适于用作高等院校计算机科学技术专业及相关专业本科生、专科生的离散数学教材和教学参考书,同时也可作为计算机软硬件研究开发者和应用人员学习用书,以及大学毕业生考研复习用书。使用时可根据不同需要,考虑删选带“*”和“△”标记的章、节及习题。全书包含了大约可在120个学时内讲授的内容;如果删除标记“*”的章、节和小节,那么可以在90-100学时内完成教学计划;如果全部或部分地删除标记“*”和“△”的章、节和小节,那么可以在60-80学时内讲授完毕。每节末编排了丰富的习题,难度有一定的层次,并按其涉及的主题对应地标记了“*”或“△”。这是为了适应目前高校普遍兼有多层次教学目标的状况,以及各校离散数学课程教学时数高低悬殊的现状。这是本书的又一个显著特点。

  本光盘是与印刷教材完全配套的,内容主要包括演示文稿和网络课程两部分。

  本书另将配套出版辅导材料《离散数学解题指导》,旨在对该书的全部习题给予详尽的分析和解答,以及解题方法的指导。

  限于作者水平,书中错误之处在所难免,敬请读者指正。

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