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离散数学自学笔记联结词

2006-09-15 16:09   【 】【我要纠错

  1.1.2  联结词

  今后“联结词”一词均指逻辑联结词及其符号表示。重要的联结词有5个,它们已在例1.2中出现。

  否定词(negation)“并非”(not),用符号┐表示。设p表示一命题,那么┐p表示命题p的否定。p真时┐p假,而p假时┐p真。┐p读作“并非p”或“非p”。今后我们用1表示真值“真”,用0表示真值“假”,用类似表1.1的所谓真值表来规定联结值的意义,描述复合命题的真值状况。表1.1规定了否定词┐的意义,表示┐p的真值状况。

  表1.1

p  ┐p 
0
1 
1
0 

  例1.3  如果p表示命题“雪是白的”,那么“并非雪是白的”、“雪不是白的”应表示为┐p,此时┐p为假,因为p为真。

  当用否定词“并非”代替自然语言中的“不”时(或者反过来),应注意保持原语句的意义。例如p 表示“我们都是好学生”时,┐p表示“并非我们都是好学生”或“我们不都是好学生”,而不是“我们都不是好学生”。

  合取词(conjunction)“并且”(and),用符号∧表示。设p,q表示两命题,那么p∧q表示合取p和q所得的命题,即p和q同时为真时p∧q真,否则p∧q为假。p∧q读作“p并且q”或“p且q”。

  合取词∧的意义和命题p∧q的真值状况可由表1.2来刻划。

  表1.2

p  q  p∧q 
0
0
1
1 
0
1
0
1 
0
0
0
1 

  例1.4  如果p表示命题“你去了学校”q表示命题“我去了工厂”,那么p∧q表示命题“你去了学校并且我去了工厂”。p∧q为真,当且仅当你、我分别去了学校和工厂。

  析取词(disjunction)“或”(or)用符号∨表示。设p,q表示两命题,那么p∨q表示p和q的析取,即当p和q有一为真时,p∨q为真,只有当p和q均假时p∨q为假。p∨q读作“p或者q”、“p或q”。

  析取词∨的意义及复合命题p∨q的真值状况由表1.3描述。

  表1.3

p  q  p∨q 
0
0
1
1 
0
1
0
1 
0
1
1
1 

  例1.5  如果p,q分别表示“今晚我看书”和“今晚我去看电影”,那么p∨q表示“今晚我看书或者去看电影”。当我于当晚看了书,或者看了电影,或者既看了书又看了电影时,p∨q为真,只是在我既不看书也不看电影时p∨q为假。

  值得注意的是,这里的“或”是所谓可兼的,即当p和q均真时,确认p∨q为真。在日常生活中,“或”在有的场合下不同于上述意义。例如“人固有一死,或重于泰山,或轻于鸿毛”。其中的“或”是不可兼的,即当发现有人的死既重于泰山又轻于鸿毛时,上述论断被认为假。看来这里的“或”用∨表示不合适,可用表1.4规定的新联结词“不可兼或” 表示之。但是,像上述场合一样的许多场合下,两个析取命题事实上不可能同时为真,即表1.4的末行根本无需定义,这时用∨代替 就没有问题,并且能使语句的表示简化。例如“a>0或a=0或a<0”可表示为“a>0∨a=0∨a<0”,而不必多此一举地表示为“a>0 a=0 a<0”。

  表1.4

p  q  p q 
0
0
1
1 
0
1
0
1 
0
1
1
0 

  蕴涵词(implication)“如果……,那么……”(if…then…),用符号→表示。设p,q表示两命题,那么p→q表示命题“如果p,那么q”。当p真而q假时,命题p→q为假,否则均认为p→q为真。p→q中的p称为蕴涵前件,q称为蕴涵后件。p→q的读法较多,可读作“如果p则q”,“p蕴涵q”,“p是q的充分条件”,“q是p的必要条件”,“q当p”,“p仅当q”等等。数学中还常把q→p,┐p→┐q,┐q→┐p分别叫做p→q的逆命题,否命题,逆否命题。

  蕴涵词→的意义及复合命题p→q的真值状况规定见表1.5.

  表1.5

p  q  p→q 
0
0
1
1 
0
1
0
1 
1
1
0
1 

  例1.6  如果用p表示“天气好”,q表示“我去接你”,那么p→q表示命题“如果天气好,那么我去接你”。当天气好时,我去接了你,这时诺言p→q真;我没去接你,则诺言p→q假。当天气不好时,我无论去或不去接你均未食言,此时认定p→q为真是适当的。

  上述规定的蕴涵词称为实质蕴涵(substantive implication),因为它不要求p→q中的p,q有什么关系,只要p,q为命题,p→q就有意义。例如“如果2+2=5,那么雪是黑的”,就是一个有意义的命题,且据定义其真值为“真”。蕴涵词的这种规定形式,在讨论数学问题和逻辑问题时是正确的、充分的,但在某些情况下显得有些不足,为此不少人对其它规定形式的蕴涵词有兴趣,对此本书不予介绍。

  双向蕴涵词(two-way implication)“当且仅当”(if and only if),用符号?表示之。设p,q为两命题,那么p?q表示命题“p当且仅当q”,“p与q等价”,即当p与q同真值时p?q为真,否则为假。p?q读作“p双向蕴涵q”,“p当且仅当q”,“p等价于q”。由于“当且仅当”“等价”常在其它地方使用,因而用第一种读法更好些。

  双向蕴涵词的意义及p?q的真值状况由表1.6给出。

  表1.6

p  q  p«q 
0
0
1
1 
0
1
0
1 
1
0
0
1 

  例1.7  如果p表示命题“△ABC@△A'B'C'”,q表示命题“△ABC与△A'B'C'的三边对应相等”,那么p?q表示平面几何中的一个真命题,因为p真时q显然真,p假时q亦必然假,故p与q同真值。若q表示命题“△ABC与△A'B'C'的三内角对应相等”,那么p?q不再是恒真的了,因p假时q未必为假。

  以上介绍的是五个最常用、最重要的联结词,自然语言中还有其它联结词,有的可以直接用它们中的一个来表示,例如“也”等同于“且”,“除非”等同于“当且仅当”;有的则可以用它们中的若干个来表示,例如“不可兼或”可用∨,∧与┐来表示,关于这一点我们要在下一节中细谈。

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