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《高等数学》(一)第一章同步辅导/训练1

2006-12-27 10:54   【 】【我要纠错

  第一章函数及其图形复习提示

  本章总的要求是:理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系;了解函数的几种常用表示法;理解函数的几种基本特性;理解函数的反函数及它们的图形之间的关系;掌握函数的复合和分解;熟练掌握基本初等函数及其图形的性态;知道什么是初等函数;知道几种常见的经济函数;能从比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系。

  本章重点:函数概念和基本初等函数。

  难点:函数的复合。

  典型例题分析与详解

  一、单项选择题

  1 下列集合中为空集的「」

  A {}B {0 }

  C 0D{x |x2+1=0,x ∈R }

  「答案」选D 

  「解析」因为A 、B 分别是由空集和数零组成的集合,因此是非空集合;0 是一个数,不是集合,故C 也不是空集。在实数集合内,方程x2+1=0无解,所以D 是空集

  2 设A={x |x2-x-6>0 },B={x |x-1 ≤1 },

  则A ∩B=「」

  A {x |x >3 }B {x |x <-2}

  C {x |-2

  「答案」选B

  「解析」由x2-x-6>0 得x >3 或 x<-2,故A={x |x >3 或x <-2};由x-1 ≤1 得x ≤2 ,故B={x |x ≤2 },所以A ∩B={x |x <-2}。

  3 设A 、B 是集合{1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9}的子集,且A ∩B={1,3 ,7 ,9},则A ∪B 是「」

  A {2,4 ,5 ,6 ,8}B {1,3 ,7 ,9}

  C {1,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9}D {2,4 ,6 ,8}

  「答案」选A 

  「解析」由A ∪B=A ∩B={1,3 ,7 ,9},得A ∪B={2,4 ,5 ,6 ,8}

  4 设M={0,1 ,2},N={1,3 ,5},R={2,4 ,6},则下列式子中正确的是「」

  A M ∪N={0,1}

  B M ∩N={0,1}

  C M ∪N ∪R={1,2 ,3 ,4 ,5 ,6}

  D M ∩N ∩R=(空集)

  「答案」选D 

  「解析」由条件得M ∪N={0,1 ,2 ,3 ,5},M ∩N={1} ,M ∪N ∪R={0,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6},M ∩N ∩R=.

  5 设A 、B 为非空集合,那么A ∩B=A 是A=B 的「」

  A 充分但不是必要条件

  B 必要但不是充分条件

  C 充分必要条件

  D 既不是充分条件又不是必要条件

  「答案」选B 

  「解析」若A=B ,则任取x ∈A 有x ∈B ,于是x ∈A ∩B ,从而A A ∩B 又A ∩B A ,故A ∩B=A 

  反之不成立例A={1,2},B={1,2 ,3},显然A ∩B=A ,但A ≠B 

  6 设有集合E={x|-1

  A B {-1 ,0 ,1}

  C {0,1 ,10}D{-1 ,0 ,1 ,10}

  「答案」选C 

  「解析」因E ∩F 是集合E 与F 的公共元素的集合,故E ∩F={0,1 ,10} 

  7 函数f (x )=1 lg|x-5|的定义域是「」

  A (- ∞,5 )∪(5 ,+ ∞)

  B (- ∞,6 )∪(6 ,+ ∞)

  C (- ∞,4 )∪(4 ,+ ∞)

  D (- ∞,4 )∪(4 ,5 )∪(5 ,6 )∪(6 ,+ ∞)

  「答案」选D 

  「解析」由对数的真数大于0 ,分母又不能为0 可求得该函数的定义域由|x-5| >0

  |x-5| ≠1 ,得x >5 或x <5

  x ≠4 或x ≠6

  于是得到该函数的定义域为(- ∞,4 )∪(4 ,5 )∪(5 ,6 )∪(6 ,+ ∞)

  8 设f (x )在区间[0 ,1 ]上有定义,则fx+1 4+fx-1 4 的定义域是「」

  A [0 ,1 ]B -1 4,5 4

  C -1 4,1 4D1 4 ,3 4

  「答案」选D 

  「解析」由0 ≤x+1 4 ≤1

  0 ≤x-1 4 ≤1 ,得-1 4≤x ≤3 4

  1 4 ≤x ≤5 4

  ,其公共部分即为该函数的定义域,于是得该函数的定义域为1 4 ,3 4 

  9 设f (x )的定义域是[0 ,4 ],则f (x2)的定义域是「」

  A [0 ,16]B [0 ,2 ]

  C [-2,2 ]D [-16 ,16]

  「答案」选C 

  「解析」由条件可得0 ≤x2≤4 ,|x| ≤2 ,-2≤x ≤2 于是f (x2)的定义域为[-2,2]

  10函数f (x )=lnx x-2的定义域是「」

  A (- ∞,0 )B (2 ,+ ∞)

  C (0 ,2 )D (- ∞,0 )∪(0 ,+ ∞)

  「答案」选D 

  「解析」由条件知x x-2 >0 且x ≠2 ,得x >2 或x <0 故f (x )=lnx x-2的定义域为(- ∞,0 )∪(2 ,+ ∞)

  11函数f (x )=arcsinx-3 2+x-3 x2-x-6 的定义域是「」

  A [1 ,5 ]B [1 ,3 )∪(3 ,5 ]

  C [1 ,3 )D (3 ,5 ]

  「答案」选B 

  「解析」由-1≤x-3 2 ≤1

  x2-x-6≠0 ,得1 ≤x ≤5 且x ≠3 ,x ≠-2,因此所给函数的定义域为[1 ,3 )∪(3 ,5 ]

  12已知f (1 x )=x+x2+1 ,(x >0 ),则f (x )= 「」

  A x+x2+1 xB 1+x2+1 x

  C x+x2+1 x2+1D1+x2+1 x2+1

  「答案」选B 

  「解析」令1 x=t ,则f (t )=1 t+1 t2+1=1 t+t2+1 t2=1+t2+1 t,故f (x )=1+x2+1 x

  「另解」因为f (1 x )=x+x2+1=1 1 x+1 1 x2+1,

  故f (x )=1 x+1 x2+1=1 x+x2+1 x2

  =1 x+1 xx2+1=1+x2+1 x

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