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《高等数学》(一)第一章同步辅导/训练2

2006-12-27 11:05   【 】【我要纠错

  13设函数f (x )=1, |x|≤1

  -1, |x|>1 ,则f1 f(x )= 「」

  A 1B-1

  C f (x )D 1 f (x )

  「答案」选A 

  「解析」因|f(x )|=1 ,1 f (x )=1,故f1 f(x )=1

  14设f (x )=|x| x,g (x )=x2 ,则f [g (x )]= 「」

  A ±1B1

  C 1 xD|x| x2

  「答案」选B 

  「解析」f [g (x )]=f(x2)=|x2| x2=x2 x2=1

  15设f (x )= 2|x |≤2

  1|x |>2,则f (f (x ))= 「」

  A 2B1Cf (x )D (f (x ))2

  「答案」选A 

  「解析」由假设f (f (x ))= 2|f (x )|≤2

  1 |f (x )|>2,

  对任意x ∈(-∞,+∞),|f (x )|≤2 ,故有f (f (x ))=2.

  16设f (1-2x)=1- 2 x,则f (x )= 「」

  A 1+4 1-xB 1-4 1-x

  C 1-2 1-2xD1+2 1-2x

  「答案」选B 

  「解析」令1-2x=t,x=1-t 2,由f (1-2x)=1- 2 x得

  f (t )=1- 21-t2=1- 4〖〗1-t ,故f (x )=1- 4 1-x

  17设f (sinx2)=1+cosx ,则f (cosx2)= 「」

  A 1-cosxB -cosx

  C 1+cosxD 1-sinx

  「答案」选A 

  「解析」f (sinx2)=1+1-2sin2x 2=2-2sin 2x 2,所以

  f (x )=2-2x2.

  从而f (cosx2)=2-2cos 2x 2=2-(1+cosx)=1-cosx.

  18设f (x+2 )=x2-2x+3,则f [f (2 )]= 「」

  A 3 B 0

  C 1 D 2

  「答案」选D 

  「解析」因f (2 )=f(0+2 )=02-2 ×0+3=3 ,

  故f [f (2 )]=f(3 )=f(1+2 )=12-2 ×1+3=2 

  「另解」因为f (x+2 )=x2-2x+3= [(x+2 )-2]2-2 [(x+2 )-2]+3,

  故f (x )= (x-2 )2-2 (x-2 )+3=x2-6x+11 ,f (2 )=3

  从而f [f (2 )]=f(3 )=32-6 ×3+11=2

  19设g (x )=lnx+1,f [g (x )]=x,则f (1 )= 「」

  A 1 B e

  C -1 D-e

  「答案」选A 「解析」由lnx+1=1 ,得lnx=0 ,x=1 ,故f (1 )= f [g (1 )]=1

  20下列各组函数中,表示相同函数的是「」

  A y=lnx2与y=2lnx

  B y=x 与y=x2

  C y=1 与y=sin2x+cos2x

  D y=x 与y=cos (arccosx )

  「答案」选C 

  「解析」A 中两函数的定义域不同,B 中两函数的对应规则不同,D 中两函数的定义域与对应规则都不同只有C 中两函数的定义域与对应规则完全相同

  21函数y=log4x+log42 的反函数是「」

  A y=42x-1By=4x-1

  C y=2x-1D y=4x-1

  「答案」选A 

  「解析」由y=log4x+log 42=log42x 得2x=4y,

  故x=42y-1 ,即所求函数的反函数是y=42x-1.

  22设-12

  A y=1-10x ,(-∞,0)

  B y=- 1-10x ,(-∞,0)

  C y=1-10x ,(lg34,0)

  D y=- 1-10x ,(lg34,0)

  「答案」选D 

  「解析」由y=lg(1+x )+lg (1-x )=lg (1-x 2)得

  1-x2=10y

  因为当x ∈(- 12,0)时,y ∈(lg34,0),所以

  x=- 1-10y

  故所求反函数为y=- 1-10x ,(lg34,0)

  23设f (x )=x-1 x+1,则f-1 (12)= 「」

  A 12B 1C 2D 3「答案」选D 

  「解析」设f-1 (12)=l,则f (l )= 12即

  l-1 l+1=12,解得l=3

  24设f (x )=lnx,且函数φ(x )的反函数φ-1(x )=2(x+1 ) x-1,则f [φ(x )

  ]= 「」

  A lnx-2 x+2Blnx+2 x-2

  C ln2-x x+2Dlnx+2 2-x

  「答案」选B 

  「解析」令y=φ-1(x ),则y=2 (x+1 ) x-1,得x=y+2 y-2 ,即φ(x )=x+2 x-2,故f[φ(x )]=lnx+2 x-2

  25下列函数中,其反函数在(- ∞,+ ∞)上有定义的是「」

  A y=x3B y=1 x

  C y=exD y=sinx

  「答案」选A 

  「解析」B 、C 、D 中的函数的反函数依次为y=1 x ,y=lnx ,y=arcsinx ,它们的定义域依次为(- ∞,0 )∪(0 ,+ ∞)、(0 ,+ ∞)、[-1,1 ],只有A 的反函数为y=3 x ,其定义域为(- ∞,+ ∞)

  26y=3x 2+3x 的反函数是「」

  A y=3-x 3-x+2By=2+3x 3x

  C y=log32x 1-xD y=log31-x 2x

  「答案」选C 

  「解析」由y=3x 2+3x ,得2y+y.3x=3x,2y=3x (1-y ),3x=2y 1-y ,x=log32y 1-y,

  故所求反函数为y=log32x 1-x

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