一、重点

　　1、理解：矩阵的定义、性质，几种特殊的矩阵（零矩阵，上（下）三角矩阵，对称矩阵，对角矩阵，逆矩阵，正交矩阵，伴随矩阵，分块矩阵）

　　2、掌握：

　　1）矩阵的各种运算及运算规律

　　2）矩阵可逆的判定及求逆矩阵的各种方法

　　3）矩阵的初等变换方法

　　二、难点

　　1、矩阵的求逆矩阵的初等变换

　　2、初等变换与初等矩阵的关系

　　三、重要公式及难点解析

　　1、线性运算

　　1）交换律一般不成立，即AB≠BA

　　2）一些代数恒等式不能直接套用，如设A，B，C均为n阶矩阵

　　（A+B）2=A2+AB+BA+B2≠A2+2AB+B2

　　（AB）2=（AB）（AB）≠A2B2

　　（AB）k≠AkBk

　　（A+B）（A-B）≠A2-B2

　　以上各式当且仅当A与B可交换，即AB=BA时才成立。

　　3）由AB=0不能得出A=0或B=0

　　4）由AB=AC不能得出B=C

　　5）由A2=A不能得出A=I或A=0

　　6）由A2=0不能得出A=0

　　7）数乘矩阵与数乘行列式的区别

　　2、逆矩阵

　　1）（A–1）–1＝A

　　2）（kA） –1=（1/k）A–1，（k≠0）

　　3）（AB）–1=B–1A–1

　　4）（A–1）T=（AT）–1

　　5）│A–1│=│A│–1

　　3、矩阵转置

　　1）（AT）T＝A

　　2）（kA） T=kAT，（k为任意实数）

　　3）（AB）T=BTAT

　　4）（A+B）T=AT+BT

　　4、伴随矩阵

　　1）A*A＝A A*=│A│I （AB）*=B*A*

　　2）（A*）*=│A│n-2 │A*│=│A│n-1 ，（n≥2）

　　3）（kA）*=kn-1A* （A*）T=（AT）*

　　4）若r（A）=n，则r （A*）=n

　　若r（A）=n-1，则r （A*）=1

　　若r（A）<n-1，则r （A*）=0

　　5）若A可逆，则（A*）-1=（1/│A│）A，（A*）-1＝（A-1）*，A*＝│A│A-1

　　5、初等变换（三种）

　　1）对调二行（列）

　　2）用k（k≠0）乘以某行（列）中所有元素

　　3）把某行（列）的元素的k倍加至另一行（列）的对应元素

　　注意：用初等变换①求秩，行、列变换可混用

　　②求逆阵，只能用行或列变换

　　③求线性方程组的解，只能用行变换

　　6、初等矩阵

　　1）由单位阵经过一次初等变换所得的矩阵

　　2）初等阵P左（右）乘A，所得PA（AP）就是A作了一次与P同样的行（列）变换

　　3）初等阵均可逆，且其逆为同类型的初等阵

　　E-1ij=Eij，E（-1）i（k）=Ei（1/k），E（-1）ij（k）=Eij（-k）

　　7、矩阵方程

　　1）含有未知矩阵的等式

　　2）矩阵方程有解的充要条件

　　AX=B有解<==>B的每列可由A的列向量线性表示

　　<==>r（A）=r（A┆B）

　　四、题型及解题思路

　　1、有关矩阵的概念及性质的命题

　　2、矩阵的运算（加法、数乘、乘法、转置）

　　3、矩阵可逆的判定

　　n阶方阵A可逆<==>存在n阶方阵B，有AB=BA=I

　　<==>│A│≠0

　　<==>r（A）=n

　　<==>A的列（行）向量组线性无关

　　<==>Ax=0只有零解

　　<==>任意b，使得Ax=b总有唯一解

　　<==>A的特征值全不为零

　　4、矩阵求逆

　　1）定义法：找出B使AB=I或BA=I

　　2）伴随阵法：A-1=（1/│A│）A*

　　注意：用该方法求逆时，行的代数余子式应竖着写在A*中，计算Aij时不要遗漏（-1）i+j，当n>3时，通常用初等变换法。

　　3）初等变换法：对（A┆I）只用行变换化为（I┆A-1）

　　4）分块矩阵法

　　5、解矩阵方程AX=B

　　1）若A可逆，则X=A-1B，可先求出A-1，再作乘法A-1B求出X

　　2）若A可逆，可用初等变换法直接求出X

　　（A┆B）初等行变换（I┆X）

　　3）若A不可逆，则可设未知数列方程用高斯消元法化为阶梯型方程组，然后对每列常数项分别求解。