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2004年4月浙江省高等教育自学考试常微分方程试题

2005-06-11 00:00   【 】【我要纠错

  课程代码:10002

  一、填空题(每空2分,共30分)

  1.含有自变量、未知函数及它的导数(或微分)的方程,称为________________方程。

  2.已知y=C1sinx+C2cosx是方程y″+y=0的通解,则满足初始条件y(0)=2,y′(0)=3的特解为y=________________.

  3.方程( )4+y3+?=x5的阶数为________________.

  4.方程 =p(x)y+Q(x)为齐线性方程。则Q(x)________________.

  5.M(x,y),N(x,y)为x、y的连续函数且有连续的一阶偏导数。方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0为恰当方程的充要条件是________________.

  6. 函数f(x,y)在R:|x-x0|≤a,|y-y0|≤b上连续,且在R上关于y满足利普希茨条件,则方程 =f(x,y)存在唯一解y= (x),定义于区间|x-x0|≤h上,连续且满足初始条件φ(x0)=y0,这里h=min(a, ),M=________________.

  7.方程 =x+y过点(0,1)的第二次近似解为y2=________________.

  8.设x1(t),x2(t)是非齐线性方程+a1 +a2x=f(t)的两个线性无关解,则齐线性方程+a1 +a2x=0的一个非零解为________________.

  9.常系数齐线性方程y″+2y′+y=0的通解为________________.

  10.微分方程x″=2x′的通解为________________.

  11.线性非齐方程的初值问题+3x″+2x=f(t)x(1)=2,?x′(1)=3,?x″(1)=4可化为如下线性微分方程组的初值问题。

  12.A是2×2常数矩阵,有特征值-1,其对应特征向量为 ,则线性方程组X′=AX有一解为________________.

  13.A是一个n×n常数矩阵,则矩阵指数expA=________________.

  14.方程组 的零奇点类型是________________.

  15.对非线性方程?零解的稳定性态,判定为________________.

  二、计算题(每小题8分,共56分)

  16.求解方程 .

  17.求解方程 .

  18.求解方程x″+x′-2x=8sin2t.

  19.用幂级数求解方程x″-tx′-x=0, x(0)=0, x′(0)=1.

  20.已知Φ(t)= 是方程X′= X的基解矩阵,求初值问题X′= X+ ,X(0)= 的解?(t)。

  21.如果矩阵A= ,试求expAt.

  22.利用V(x,y)=ax2+by2确定方程组,零解的稳定性。

  三、证明题(每小题7分,共14分)

  23.给定方程 ,证当x0=1,y0=0时 =|x|.

  24.设A(t), f (t)分别是区间a≤t≤b上,连续的n×n矩阵和n维列向量,证明方程组?X′=A(t)x+f (t),存在n+1个线性无关的解。

 

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