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2004年4月全国高等教育自学考试线性代数试题

2005-06-11 00:00   【 】【我要纠错

  课程代码:02198

  试卷说明: 表示矩阵 的转置矩阵, 表示矩阵 的伴随矩阵, 是单位矩阵,| |表示方阵 的行列式。

  一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

  在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

  1.排列53142的逆序数τ(53142)=( )

  A.7 B.6

  C.5 D.4

  2.下列等式中正确的是( )

  A. B.

  C. D.

  3.设k为常数,A为n阶矩阵,则|kA|=( )

  A.k|A| B.|k||A|

  C. |A| D. |A|

  4.设n阶方阵A满足 ,则必有( )

  A. 不可逆 B. 可逆

  C. 可逆 D.

  5.设 , , ,则关系式( )

  的矩阵表示形式是

  A. B.

  C. D.

  6.若向量组(Ⅰ): 可由向量组(Ⅱ): 线性表示,则必有( )

  A.秩(Ⅰ)≤秩(Ⅱ) B.秩(Ⅰ)>秩(Ⅱ)

  C.r≤s D.r>s

  7.设 是非齐次线性方程组 的两个解,则下列向量中仍为方程组解的是( )

  A. B.

  C. D.

  8.设A,B是同阶正交矩阵,则下列命题错误的是( )

  A. 也是正交矩阵 B. 也是正交矩阵

  C. 也是正交矩阵 D. 也是正交矩阵

  9.下列二次型中,秩为2的二次型是( )

  A. B.

  C. D.

  10.已知矩阵 ,则二次型 ( )

  A. B.

  C. D.

  二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)

  请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

  11.已知A,B为n阶矩阵, =2, =-3,则 =_________________.

  12.已知 ,E是3阶单位矩阵,则 =_________________.

  13.若 线性无关,而 线性相关,则向量组 的一个最大线性无关组为_________________.

  14.若向量组 线性无关,则t应满足条件_________________.

  15.设 是方程组 的基础解系,则向量组 的秩为_________________.

  16.设 , ,则 的内积( )=________________.

  17.设齐次线性方程组?= 的解空间的维数是2,则a=______________.

  18.若实二次型 正定,则t的取值范围是_________________.

  19.实二次型 的正惯性指数p=_________________.

  20.设A为n阶方阵, ,若A有特征值λ,则 必有特征值_________________.

  三、计算题(本大题共8小题,每小题6分,共48分)

  21.计算行列式 .

  22.设实数 满足条件?= ,求 及 .

  23.求向量组, , ,的一个最大线性无关组,并把其余向量用该最大线性无关组表示。

  24.给定齐次线性方程组

  (1)当λ满足什么条件时,方程组的基础解系中只含有一个解向量?

  (2)当λ=1时,求方程组的通解。

  25.设矩阵 ,求

  26.设向量 和 都是方阵A的属于特征值λ=2的特征向量,又向量 ,求 .

  27.设矩阵 ,求正交矩阵P,使 为对角矩阵。

  28.设二次型 经正交变换 化为标准形 ,求a,b的值。

  四、证明题(本大题共2小题,每小题6分,共12分)

  29.设A为3阶实对称矩阵,且 .证明: .

  30.已知矩阵 可逆,证明线性方程组 无解。

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