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2004年4月浙江省高等教育自学考试复变函数试题

2005-06-11 00:00   【 】【我要纠错

  课程代码:10019

  一、填空题(每空2分,共16分)

  1.设z=x+iy,其中x>0,y<0,则arg z=________________(-π<argz<π )。

  2.指数函数 的基本周期=________________.

  3. 的主值=________________.

  4.?=________________.

  5.级数 的收敛半径R=________________.

  6.函数ez+ 在z=0的去心邻域0<|z|<∞内罗朗展示为________________.

  7.函数1+ez的零点为________________.

  8.若f(z)为整函数,则z=∞为f(z)的可去奇点的充要条件________________.

  二、判断题(判断下列各题,正确的在题后括号内打“√”,错的打“╳”。每小题2分,共14分)

  1.幂级数在其收敛圆周上至少有一点发散。( )

  2.简单曲线必可求长。( )

  3.三角函数sin z, cos z皆为有界函数。( )

  4.复变函数f(z)在点z可导等价于f(z)在点z可微。( )

  5.设f(z)在单连通区域D内连续,且对D内任一围线C有?=0,则f(z)在D内解析。( )

  6.f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是u(x,y)、v(x,y)在区域D内满足柯西-黎曼条件。( )

  7.若函数ω=f(z)在区域D内单叶解析,则f(D)是一个区域。( )

  三、完成下列各题(每小题5分,共30分)

  1.设|z|=1,试证 =1.

  2.求函数f(z)= 在z=0的去心邻域内的罗朗级数。

  3.求积分 ,其中C表示原点z=0到点z=1+i的直线段。

  4.z=0是 的本性奇点吗?证明你的结论。

  5.计算积分 , 其中n为正整数。

  6.求一个上半单位圆到上半平面的保形变换。

  四、(10分)

  计算积分 , 其中C:x2+y2=2(x+y)。

  五、(10分)

  求积分 之值,其中积分路径是连接0到2πa的摆线:

  x=a(θ-sinθ),y=a(1-cosθ)。

  六、(10分)

  证明:若f(z)在D内解析,且|f(z)|=常数,则f(z)=常数。

  七、(10分)

  证明:设方程 =1(自然数n>1)的n个解为1,ω1,ω2,…,ωn-1,则

  1+ω1+ω2+…+ωn-1=0.

 

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